OSCILLATEURS


OSCILLATEURS
OSCILLATEURS

Les systèmes physiques auxquels on s’intéresse ici sont le siège de phénomènes caractérisés par un nombre fini de variables, le même système physique pouvant être étudié de plusieurs points de vue; ainsi, pour un circuit composé de self-résistances, on peut mettre en équation les intensités qui les parcourent ou les vibrations mécaniques qu’elles présentent extérieurement.

On dira que le système physique constitue un oscillateur pour le phénomène étudié (intensité électrique, par exemple) si, après un certain intervalle de temps, dit de régime transitoire, ses variables de configuration (les intensités dans les différentes branches du circuit) sont des fonctions périodiques du temps ou des combinaisons linéaires de fonctions périodiques du temps.

Dans toutes les branches de la physique (électricité, mécanique, optique et même thermodynamique), on peut extraire des exemples d’oscillateurs chaque fois qu’un schéma linéaire (par exemple, remplacement d’une équation non linéaire par une équation linéaire) se révèle adéquat et que, dans le cours du temps, seules quelques fonctions privilégiées gardent des amplitudes non négligeables et correspondent à des phénomènes mesurables qui fournissent ou bien une énergie pulsante utile, comme celle fournie par le balancier d’une pendule, ou bien des parasites que l’on élimine en aval (vibrations d’un rotor filtrées par des semelles antivibratiles).

On renvoie à l’article VIBRATIONS MÉCANIQUES l’étude détaillée des oscillations forcées et de la résonance, et à l’article STABILITÉ l’étude générale des critères théoriques et expérimentaux permettant de déceler si un système physique est stable ou instable.

1. Oscillateurs à une variable

L’oscillateur le plus simple est un système physique qui se trouve être le siège d’un phénomène caractérisé par la variable q dont les valeurs en fonction du temps sont régies par l’équation différentielle:

a et c sont des constantes de même signe (positives, par exemple); posant 諸2 = c /a ( 諸 est la pulsation), on en déduit que:

q 0 et q 0 sont les valeurs de q et q au temps t = 0; q (t ) est ainsi une fonction périodique, de période T = 2 神/ 諸. On dit d’un tel oscillateur qu’il est harmonique. De très nombreux exemples peuvent être empruntés aux diverses branches de la physique [cf. PENDULES ET MOUVEMENTS PENDULAIRES]. Ainsi, en électricité ou en mécanique, on évoque souvent les schémas de la figure 1.

Mais rares sont les systèmes réels qui se laissent schématiser aussi simplement.

D’une part, dans le cas où une seule variable suffit à caractériser l’étude entreprise, on observe que l’amplitude de q diminue au cours du temps (au lieu de rester égale à 連q 02 + q 02/ 諸2 comme dans le cas de l’oscillateur harmonique), ce qui conduit souvent à faire intervenir dans l’équation différentielle un terme d’amortissement proportionnel à q (terme «résistant» Rq dans le schéma électrique, terme de «frottement» dans un schéma mécanique), et l’on obtient l’équation:

(avec, degré d’amortissement, et 諸 positifs), dont la solution est:

si 礪 1 (amortissement fort),

si 0 麗 麗 1 (amortissement faible), et:

Les valeurs de A et B s’expriment facilement à l’aide des valeurs initiales q 0 et q 0.

Par exemple, s’il s’agit d’un circuit à maille unique comportant une self-résistance (L et R) et un condensateur de capacité C, on obtient l’équation régissant les variations de la charge q du condensateur:

ou:

ce qui donne le degré d’amortissement:

Dans le cas où est inférieur à l’unité, on remarque que:

ce qui amène à définir la pseudo-période Tp , le décrément logarithmique 嗀 et la constante de temps 精:

On remarque que q (t ) tend vers zéro théoriquement en un temps infini, mais pratiquement en un temps fini plus ou moins long suivant la valeur de la constante de temps.

2. Systèmes à plusieurs variables

Il est rare que l’on puisse schématiser les phénomènes caractérisant un système physique à l’aide d’une seule variable q . Ainsi, par exemple, en mécanique et en électricité, on rencontre les modèles suivants qui sont caractérisés par deux paramètres dont les variations en fonction du temps sont régies par un système de deux équations différentielles (fig. 2).

De manière générale, pour deux variables, on écrit le système différentiel linéaire:

Du fait que q 1 et q 2 interviennent dans chaque équation de ce système, on dit que les variables sont couplées. On recherche une solution particulière sous la forme:

où K1 et K2 ne doivent pas être nuls tous les deux; dans ces conditions, K1, K2 et s obéissent au système algébrique suivant, linéaire et homogène par rapport aux inconnues K1 et K2:

ou:

avec:

On doit donc écrire que le déterminant (s ):

est nul pour que ce système admette une solution non banale, ce qui conduit à une équation du quatrième degré en s , qui admet quatre racines s 1, s 2, s 3, s 4 (s p avec p = 1, 2, 3, 4), réelles ou complexes, distinctes ou confondues. Comme l’équation en s est à coefficients réels, dès qu’elle admet une racine complexe, elle admet aussi la racine conjuguée. Pour s = s p :

Dans le cas où les racines s p sont toutes distinctes, la solution générale du système différentiel est:

Si certaines racines sont multiples, l’exponentielle correspondante est multipliée par un polynôme dont le degré est égal à la multiplicité de la racine diminuée d’une unité; ainsi, dans le cas d’une racine triple, le polynôme sera du second degré.

À titre d’exemple d’intégration, envisageons le cas de deux disques rappelés par des ressorts travaillant en torsion et supposons que I1 = I2 = I, 臨1 = 臨2 = 臨 (fig. 1 c et 2); les racines en s sont 梁 i 諸, 梁 i 諸 連3, avec 諸 = 連 臨/I, 福(face=F0019 梁 i 諸) = 1, et 福(face=F0019 梁 i 諸 連3) = 漣 1. Les amplitudes de torsion ont pour expressions:

et:

On voit que 見1 et 見2 ne sont pas des fonctions périodiques du temps, bien qu’elles soient des combinaisons linéaires de fonctions sinusoïdales du temps (mais dont les périodes ne sont pas commensurables, puisque 諸2/ 諸1 = 12 = 連3, qui n’est pas un quotient de deux entiers). Dans ce cas, les fonctions 見1 et 見2 sont bornées. On voit qu’il en sera de même chaque fois que l’équation n (s ) = 0 n’admettra pas de racine positive ou à partie réelle positive. Or, le théorème de Routh permet d’exprimer très généralement qu’un polynôme en s de degré n (n’admettant pas de parité donnée, c’est-à-dire ni pair, ni impair) a toutes ses racines négatives ou à partie réelle négative; il se traduit par des règles qui s’appliquent simplement. Soit le polynôme (ni pair, ni impair):

a 0 peut être choisi positif sans que rien ne soit changé à l’étude des racines de l’équation n = 0. On place les coefficients de l’équation sur deux lignes:

puis on constitue une nouvelle ligne:

et ensuite une nouvelle ligne:

et ainsi de suite, jusqu’à épuisement des termes ainsi formés; on remarque que, toutes les deux lignes, le nombre des termes diminue d’une unité, et il y a finalement une ligne qui ne comporte qu’un seul terme et qui finit le tableau (on remarque que si le polynôme était pair ou impair, cas exclus, une des deux premières lignes de coefficients serait une ligne de zéros). Les conditions nécessaires et suffisantes, dites conditions de Routh, pour que l’équation n = 0 ait toutes ses racines à partie réelle négative sont que tous les termes de la première colonne du tableau complet ainsi formé soient positifs: a 0 礪 0, a 1 礪 0, b 0 礪 0, b 1 礪 0 ...; par exemple, pour le polynôme:

ces conditions nécessaires et suffisantes peuvent s’exprimer par les relations suivantes: a 0 礪 0, a 1 礪 0, b 0 = a 1a 2a 0a 3 礪 0, b 1 = b 0a 3a 21a 4 礪 0, a 4 礪 0.

Dans le cas où le polynôme en s est de parité donnée, s’il est impair il a une racine nulle (qui conduit à une solution constante); et, après mise en facteur de s , il reste à étudier les racines d’un polynôme pair. Chaque cas particulier doit être examiné. Dans le cas d’un polynôme du second degré as 2 + c = 0, si c /a = 諸2 (cas de l’oscillateur harmonique), s = 梁 i 諸; si c /a = 漣 諸2, il y a instabilité. Dans le cas d’un polynôme du quatrième degré as 4 + bs 2 + c = 0, si a 礪 0, b 礪 0, b 2 漣 4 ac 礪 0, les racines en s 2 sont négatives et les racines en s sont 梁 i1 et 梁 i2, ce qui conduit à une solution stable oscillante:

telle que celle correspondant au cas des oscillateurs à deux paramètres. Cette étude directe se complique fort pour des équations de degré plus élevé en s 2.

Ainsi, chaque fois qu’on saura analyser le comportement d’un système de telle sorte qu’il soit régi par des équations différentielles linéaires, on pourra énoncer des conditions nécessaires et suffisantes pour que l’équation n (s ) = 0 ait des racines à partie réelle négative, de telle sorte que les variables de configuration tendront vers zéro au bout d’un temps théoriquement infini, mais pratiquement après un régime transitoire de durée limitée. Lorsqu’un tel système comporte un paramètre physique variable sur lequel on peut agir, il arrive que, dans le schéma linéaire correspondant, pour certains intervalles de variation du paramètre, l’équation n (s ) = 0 admette des racines à parties réelles négatives (phénomène stable) et que, pour un autre intervalle, elle admette au moins une racine à partie réelle positive.

Si la valeur du paramètre appartient à ce dernier intervalle, deux cas se présentent en pratique: ou bien la croissance exponentielle dans le temps des amplitudes des paramètres q , prévue par les équations linéaires, se réalise effectivement, et le système physique est rapidement détruit, ou bien le schéma linéaire n’est plus valable pour une telle valeur du paramètre parce que les causes de croissance résident dans un phénomène qui s’atténue ou s’inverse pour de grandes amplitudes; dans ce cas, il se produit des oscillations bornées (et même très souvent périodiques puisque toutes les autres racines en s , sauf les deux imaginaires pures opposées 梁 i 諸, conduisent généralement, en des temps très courts, à des fonctions de valeurs numériques arbitrairement petites): le système fonctionne en oscillateur.

3. Applications

Examinons quelques exemples que l’on peut classer selon le degré de l’équation n (s ) = 0.

Premier exemple

Considérons un circuit électrique accordé (L, R, C), incorporé au circuit plaque d’une triode ( n = 0 de degré 3 ou 2).

Si l’on désigne par M le coefficient d’induction mutuelle entre la self L et un bobinage inséré entre la grille et sa source de polarisation négative, Lg la self sur la grille, 福g la résistance de grille, Vp la tension plaque, Vg le potentiel de grille, et si l’équation caractéristique de la lampe est:

on obtient alors une équation du troisième degré en s :

pour laquelle on doit écrire les conditions de Routh. Dans le cas où 福g peut être considéré comme infini, cette équation se réduit à une équation du second degré:

Tout se passe alors comme si on était en présence d’un circuit accordé (L1, R1, C1) avec:

Or M peut être négatif et assez grand en valeur absolue:

On peut prévoir, dans ce cas, si le schéma linéaire est encore valable, que le système physique sera le siège de phénomènes dont les amplitudes vont croître très rapidement avec le temps. Mais l’expérience montre que les amplitudes atteignent une valeur limite stable: cela correspond au fait que, dans l’équation caractéristique de la lampe, 福 et K ne restent pas constants sur un large domaine de variations de Vp et Vg . On peut encore dire que l’amplitude des oscillations s’établit de telle sorte qu’en moyenne la résistance R1 puisse être considérée comme nulle pendant une période, le circuit cédant autant d’énergie qu’il en reçoit pour qu’il soit l’équivalent d’un oscillateur harmonique.

Deuxième exemple

Prenons ensuite le cas où n = 0 est une équation bicarrée en s . Considérons les deux équations linéaires:

Un tel système régit les phénomènes électriques dont est le siège un ensemble de deux circuits accordés couplés par une mutuelle M et dans lequel, subsidiairement, un amplificateur reçoit à l’entrée la tension aux bornes de C2 (soit q 2/C2) et fournit à la sortie la tension 見q 2/C2; on a effectivement dans ce cas:

et l’équation en s correspondante est:

La stabilité impose que:

et l’on voit que, si M est positif, on cesse d’avoir stabilité lorsque le coefficient 見 d’amplification en tension est supérieur à:

Un tel système régit également les mouvements de flexion q 1 et de torsion q 2 d’une aile d’avion (par conséquent, l’oscillateur électrique ci-dessus peut constituer un modèle sur lequel s’effectueraient éventuellement des mesures de vitesses critiques d’ailes vibrant en flexion-torsion). La force vive de l’aile, dans les vibrations de son schéma simplifié à deux degrés de liberté, peut s’exprimer par la forme quadratique en q 1 et q 2:

où I1, I2 et I12 sont des constantes ayant toutes trois les dimensions physiques d’un moment d’inertie. Si l’on désigne par 臨1 et 臨2 les coefficients de rappel élastique de flexion et de torsion dû à la structure de l’aile et si, lorsque l’avion avance avec la vitesse V, il en résulte un couple aérodynamique KV2q 2 proportionnel à la torsion et au carré de la vitesse et qui fait fléchir l’aile sans la tordre, les équations de flexion-torsion sont respectivement:

On conclut l’étude de la même façon que pour le modèle électrique (cf. supra , les conditions de la stabilité), et il existe donc une vitesse critique qu’il ne faut pas que l’avion atteigne, sinon il se produira une rupture d’aile.

Troisième exemple

Considérons enfin le cas où n = 0 est une équation du quatrième degré en s ou, plus particulièrement, une équation bicarrée en s. Une bobine de haut-parleur électrodynamique, par exemple, se déplace en translation dans le champ magnétique radial で d’un aimant (fig. 3); on désigne par m sa masse et par K la dureté longitudinale du ressort qui rappelle cette bobine vers sa position d’équilibre; on appelle x le déplacement de la bobine par rapport à cette position. Un circuit constitué d’une self L et d’une capacité C de charge q comporte en série un enroulement de longueur l monté sur la bobine. On monte sur cette bobine un second enroulement de fil qui crée une force électromotrice d’induction, laquelle, amplifiée par A, donne aux bornes de la résistance R1 une tension 見Hlx , aux bornes de la self L1 une tension 廓Hlx et aux bornes de la capacité C1 une tension 塚Hlx (ces trois tensions de réaction étant dues au courant de sortie de l’amplificateur A). On appelle x le déplacement de la bobine par rapport à cette position, q la charge du condensateur.

Les équations qui régissent les phénomènes électromécaniques étudiés sont:

et l’équation en s correspondante est:

ou:

Comme les branchements permettent de donner à 見, 廓, 塚 les signes désirés, on s’arrange pour que 廓 et 塚 soient positifs (dans la théorie générale de Routh, ce sont des conditions nécessaires de stabilité) et il faut de plus que les deux conditions de Routh b 0 礪 0 et b 1 礪 0 (conditions de la théorie générale appliquée à l’équation du quatrième degré traitée ci-dessus en cas particulier) soient satisfaites pour que la stabilité ait bien lieu.

Si l’on exerce la réaction sur le circuit électrique (L, C) uniquement par l’intermédiaire de la résistance R1, les coefficients 廓 et 塚 s’annulent et l’équation en s devient bicarrée. Les conditions de stabilité s’écrivent:

Si le coefficient (1 + 見) devient négatif, et si sa valeur absolue est assez grande, des instabilités peuvent naître; cela se produira si:

Dans le cas général où des équations de degré supérieur à 4 interviennent pour la variable s dans l’étude des schémas linéaires, il faut étudier la stabilité par la méthode de Routh, lourde mais efficace. Toutefois, on doit bien remarquer, en terminant, que cette méthode est en défaut lorsque la mise en équation du système est trop compliquée ou inextricable: il y a lieu, dans ce cas, de faire intervenir des courbes de description d’impédance ou de phase qui sont accessibles à des mesures et qui permettent de conclure en ce qui concerne la stabilité sans mettre en danger le fonctionnement et le bon état de marche de l’ensemble physique considéré.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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